鸡兔同笼问题,奇偶特性在公考数学运算中的应

2019-08-28 03:02栏目:娱乐资讯
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问题:10元买了一个棒一个球,棒比球贵了1元,请问棒和球各是多少钱?

鸡兔同笼

纵观历年国家公务员(微博)以及地方公务员的考试,在数学运算中,绝大部分的题目基本可以通过列方程,解方程把答案做出来,但是,我们列方程解方程一般都会花比较多的时间,有的题目是必须列方程的,对于这些必须列方程的题目,我们应该通过快速解方程方面来提高我们的解题速度,下面跟大家介绍一种方法在解方程时非常有用的方法:奇偶特性在求根的应用。希望同学能好好领会。

 奥数这门课程虽然在上世纪八十年代就已经开始授课,但却是在近十来年才突然火爆起来。当奥数与升学有千丝万缕的联系开始,许多父母都争先恐后的把子女送进各类教育机构学习奥数,然而许多父母并不了解奥数具体学些什么内容,更不要说了解它能对孩子产生什么影响了。

回答:

一、考情分析

首先我们要掌握奇偶特性的一些性质以及推论:

迄今为止,其实并没有任何教育专家或权威人士定义过何为奥数课程,由此可见,奥数课程是没有统一的教学大纲或课程标准的。不过这并不代表奥数课程的教学内容是零散的、不系统的。事实上,各门各派的奥数教材在内容上一直有着许多共同的主题。下面就为各位家长介绍一下小学奥数课程要学些什么。

这是一道小学数学应用题,也是一道中学数学计算题。我们就分别用小学和中学的解题方法来解答一下这个问题。

鸡兔同笼问题在最近几年的国家公务员考试中已经不多见了,但是偶尔还会出现。在各省的公务员考试中,这类问题出现的频率还是比较高。纵观这几年的考题,鸡兔同笼问题难度越来越大,考生需要熟练掌握其解题方法。

奇偶运算基本法则

一、研究古老而有趣的数学问题

  1. 小学计算方法

二、问题概述

奇数±奇数=偶数; 偶数±偶数=偶数

接触过奥数的家长,你们也许会听孩子回来跟你谈论“鸡兔同笼”、“植树问题”等非常古老而有趣的数学问题,这类问题早在一千多年前就已经有人在研究了。这类数学问题能流传至今,说明它在数学领域里有着很高的思维价值。这类数学问题有一套特定的解决策略,能帮助孩子拓宽思维边界。

10元钱买了一根棒和一颗球,其中,棒比球要贵1元,那么,如果棒的价格减去1元的话,棒和球的价格就一样的,也就是说,球的价格=棒的价格-1元。那么,2*球的价格=(棒的价格-1元) 球的价格=棒的价格 球的价格-1元=10元-1元=9元,所以,球的价格=9元/2=4.5元,棒的价格=球的价格 1元=4.5元 1元=5.5元。

鸡兔同笼”是我国古代的一类有名的算术题,最早出现在《孙子算经》中。闲话插一句,《孙子算经》大约是公元四、五世纪写的,离现在已经有一千多年的历史了,这本书是我国有名的《算经十书》里面的一本,大家有兴趣可以去看一下。

偶数±奇数=奇数; 奇数±偶数=奇数

这是中国古代非常有名的数学问题——韩信点兵。在大学数学里,是用同余式的知识去解答。但在小学奥数里,是用有序枚举法和最小公倍数的知识来解答的。

类似这个方法,也可以把球的价格用棒的价格表达,然后解出这个问题。即:棒的价格=球的价格 1元, 2*棒的价格=棒的价格 (球的价格 1元)=棒的价格 球的价格 1元=10元 1元=11元。从而,棒的价格=11元/2=5.5元,球的价格=棒的价格-1元=5.5元-1元=4.5元。

话题转回来,《孙子算经》里面有这么一道题:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”转化成为现在的话来说就是:“现在把一群鸡和一群兔子关到一起,有个人去数一下,从上面数,发现一共有35个头,从下面数,发现有94条腿,问有多少只鸡,多少只兔子?”

【推论】

解:从最小的数开始,按顺序列举7除余2的数。

  1. 中学的解题方法

下面我们来介绍两种方法来解决这个问题。

一、任意两个数的和如果是奇数,那么差也是奇数;如果和是偶数,那么差也是偶数。

7除余2的数有:2、9、16、23、30、37、……

我们设球的价格为x元,则棒的价格为x 1元,由题中条件可得:x (x 1)=10,2x 1=10,2x=9,x=4.5,x 1=5.5,所以,最后解得球的价格为4.5元,棒的价格是5.5元。

三、解题方法

二、任意两个数的和或差是奇数,则两数奇偶相反;和或差是偶数,则两数奇偶相同

从上面列出的数中寻找有没有一个是5除余3的,于是发现,23是符合要求的数中最小的一个。这样,下一个同时符合“7除余2”、“5除余3”的数,只要在23的基础上加上5和7的最小公倍数35就行了。于是我们列举出以下这些数:23、58、93、128、……。

第二种方法,设棒的价格为y元,则球的价格为10-y元,根据题中的条件“棒比球贵1元”得,y-(10-y)=1,去掉括号得:y-10 y=1,合并同类项得:2y=1 10=11,两边同除2得:y=5.5,10-5.5=4.5,答:棒的价格为5.5元,球的价格为4.5元。

(一)假设法

三、奇数个奇数的和是奇数;偶数个奇数的和是偶数

最后一步,从上面列出的数中,寻找符合3除余2的数。经尝试,23是最小的一个,也就是说它同时符合“3除余2”、“5除余3”、“7除余2”三个条件。另一方面,23小于100,符合要求。

以上两类4种方法所计算出的结果都是相同的,即:棒的价格为5.5元,球的价格为4.5元。

首先我们用一种常规的方法来做做这道题。我们知道,一只鸡有2条腿,一只兔子有4条腿,现在一共有35只动物,却有94条腿,说明鸡和兔都是存在的。我们假设所有的动物都是鸡,那么35个动物就应该有70条腿,这样就少了24条腿,对吧?大家可以想一想,这24条腿是从何而来的?原因就出在我们的假设中,我们把所有的动物都看成是鸡,而实际上每一只兔子是比鸡多了2条腿,这24条腿应该就是因为我们把12只兔子看成了鸡,也就是说应该有12只兔子,那鸡就应该有35-12=23只。

下面,我们通过例题来熟悉奇偶特性的应用:

答:这队士兵有23人。

回答:

我们总结一下上面的推导过程,可以知道“设鸡求兔”的公式为:

【例题1】:(国考-行测--2010-48)某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位,甲教室每排可坐10人,乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次,每次培训均座无虚席,当月培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训? ( )

这题也是中国古代非常有名的“鸡兔同笼问题”,虽然用一元一次方程可以轻松解决,但过早使用方程公式来解决,会限制孩子数学思维的发散性。此题的精髓是在于用不同的方法进行解答,达到扩宽思维边界的目的。下面将用其中一种非常巧妙的算术方法来示例:

这是一个很简单的数学题,解题过程如下:

兔头数=(总足数-2×总头数)÷(4-2)

A.8 B.10C.12 D.15

解:假设笼子里全是兔,那么一共有8×4=32(只)脚;已知的总脚数相差:32-26=6(只)。

解:设球为x元,则棒为(x 1)元,得

鸡头数=总头数-兔头数

【答案】D

因为我们把一些鸡都当成是兔来计算,所以脚的数目算多了,必须将某些“兔”改成“鸡”。一只兔比一只鸡多4-2=2(只)脚,所以6只脚的相差数需要用6÷2=3(只)鸡来补回,也就是说原来一共有3只鸡,那么兔的只数就是8-3=5(只)。

x (x 1)=10

我们还可以通过假设全部动物是兔子来求。如果所有的动物都是兔子,那么就应该有4×35=140条腿,比已知多了46条腿,我们也可以很明显看出,这46条腿就是我们把鸡算成了兔子的结果,每一只鸡多算了2条腿,所以,鸡的数量应该是46÷2=23只,兔子的数量为35-23=12只。两种方法得出来的结果完全一样。

【解析】设甲教室共举办了x次,乙教室共举办了y次,

答:鸡有3只,兔有5只。

2x 1=10

我们同样总结一下,“设兔求鸡”的公式为:

50x 45y=1290

值得说明一下,“鸡兔同笼问题”早在2001年已经被人教版教材收录成为课程内容,只不过学习要求较低,而这两项内容在奥数课程里的学习要求会高出许多。

2x=10-1

鸡头数=(4×总头数-总足数)÷(4-2)

X y=27

二、研究一类特定的思维方法

2x=9

兔头数=总头数-鸡头数

50x(偶数) 45y(偶数)=1290(偶数),可推出y=偶数,X y=27,可推出x=奇数15

奥数课程的某些内容并不以特定的情境为主线,倒是各种各样情境下的数学问题,以一种特定的思维方法贯穿整个解答的过程。简单地说,奥数课程要让孩子们学会一系列解决数学问题的思维方法,比如逆推法、递归法、消去法、代换法等。

x=4.5

大家注意一下这两组公式,很重要的结论就出来了:

【例题2】:(国考-行测--209-112)甲购买3支签字笔、7支圆珠笔、1支铅笔共花费32元,乙购买同样价格的笔,其中签字笔4支,圆珠笔10支,铅笔1支,共用去43元,问:单独购买签字笔、圆珠笔、铅笔各一支共需多少钱?

学过奥数的孩子就知道,原来一对兔子能生出来的小兔子对数有以下的规律:1、1、2、3、5、8、13……,这列数叫斐波那契数列。该数列从第三项开始,每一项都是通过前面两项相加得到的。这里用到的就是递归的思想方法,简称为递归法。

所以,球是4.5元,则棒为:

我们如果要求兔的数量,就要把所有的动物假设为鸡来求;如果要求鸡的数量,那就把所有的动物假设是兔子。也就是说,在鸡兔同笼问题中,如果我们要求其中一种东西时,就把所有的东西都当成是另一种东西,这样就能求出它的数量了。

A.21 B.11 C.10 D.17

三、小学奥数需掌握许多重要的运算技巧

4.5 1=5.5(元)

(二)方程法

【答案】C

学习奥数需要有良好的运算能力,下面这道题即是此能力的体现:

答:球是4.5元,棒是5.5元。

也许有同学觉得刚才的假设法很复杂,想起来总是在绕圈子,那么我现在来介绍另外一种简单明了的方法——方程法。还是上面那道题,我们再来仔细看一下,题目要求的是鸡和兔子的数量,那我们简单的把鸡的数量写成鸡,兔的数量写成兔,也就是说鸡 兔=35。现在再来看腿的情况,鸡有2条腿,兔有4条腿,那么来算腿的数量,就有2鸡 4兔=94。我们现在把两个方程放到一起:鸡 兔=35,2鸡 4兔=94,这个方程很容易能够解出来,大家可以算一下,得到,鸡有23只,兔有12只。

【解析】解:3x 7y z=32

解决上题要用到一种技巧叫做“裂项相消”,它的本质是“部分分式的拆分”,在初中奥数课程里也能见到它的身影。甚至到了大学数学课程,几乎所有的有理分式函数积分也要靠它才能完成。

回答:

用方程法来解这类问题,只需要分别假设出这些东西的数量,然后很容易就能列出二元一次方程组来求解。

4y 10y z=43

四、小学奥数需提前学习部分代数、几何,甚至数论方面的知识

多谢好友王瑞迪邀请。

四、题型精讲

由:4y(偶数) 10y(偶数) z=43(奇数),可推出z=奇数

奥数课程的教学内容还有个明显的特点,就是将提前学习中学甚至大学的教学内容,在代数和数论两个领域特别明显。例如小学奥数课程对解方程的要求比校本的要求高出许多,基本与初中一年级学生的要求持平。

这个题可以这样答。用去10元钱总共买了两样,一棒一球,棒比球贵1元。10除以2得5,5加1得6,5减1得4。得出答案棒6元,球4元。

我们现在来看看鸡兔同笼问题中常考的几种情况。

3x 7y z(奇数)=32(偶数),可推出3x 7y=奇数,3x为奇数时,则7y为偶数,反之一样,得到x,y为一奇一偶。

虽然许多复杂的奥数题,利用方程来解决的话过程会便捷许多,但需要注意的是,奥数学习强调的是思维的扩展性和发散性,方程仅是一种解题的工具,在解题时不应过度依赖,需灵活使用多种解题思想,否则将会限制数学思维的发展。

这道数学题应该有多种算法,这就是数学的奥秘,数学的魅力所在,智者见智,慧者有慧。
图片 1

(一)基础题型:已知头数和腿数,求各自的数量

所以:x y z=两奇 一偶=偶数

关于奥数学习知识的超前性,下面用一道需调用到齐次线性方程的知识的“牛吃草问题”进行举例:

回答:

这是最基础的题型,大家可以尝试着分别用以上两种方法来试一下。

答案为10

牛吃草问题非常抽象,由于涉及一些隐藏的比例关系,用算术方法解答很难理解,可以借助方程组来解决。但这是一个齐次方程组。

对于小学生,思维方式很重要,你列等式他会就觉得很枯燥,很难。建议用以下方法。

例题1:在同一个笼子中,有若干只鸡和兔,从笼子上看有40个头,从笼子下数有130只脚,那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只?

【例题3】:(云南省考-行测--2008-48)7个不同的质数的和为58,则最小的质数等于多少()?

解:设草地上原有草量为A,每头牛每周吃草量为x,每周草地上草的增长量为y。根据等量关系式:牛的总吃草量=原有草量 若干周后草的增长量,列出下面的方程组:

小明用10元钱去买了一个棒一个球,走的时候想到家里有棒了,就跟老板说换一个球,老板补了他一元钱,这样小明用九9元钱买了2个球,价格就显而易见了。

【答案详解】方法一,利用假设法。假设全是鸡或全是兔,脚的总数必然要多或少,通过脚数与实际数之差,可以知道造成差的原因,于是知道应有多少只兔或应有多少只鸡。

A.2 B.3 C.5D.7

用下式减上式可以消去A,得到75x=5y,即y=15x。利用特殊值法,令x=1,y=15代入原方程组中任一个,可得到A=60。接下来要求草地的草可以供25头牛吃多少周,用算术方法就行了:

觉得好用,请采纳!

设鸡求兔:

【答案】A

60÷(25-15)=6(周)

回答:

兔:(130-2×40)÷(4-2)=25

【解析】除了偶数2之外所有的质数都是奇数,如果题目中的7个不同质数不含2的话,则相对于7个奇数相加,但其和为奇数(推论三),跟原题意为58矛盾。所以该7个不同的质数必含偶数2.

答:可以供25头牛吃6周。

不知各位是否做过小学四年级的鸡兔同笼问题。

鸡:40-25=15

【例题4】(湖北省考-行测--2009)一个人到书店购买了一本书和一本杂志,在付钱时,他把书的定价中的个位上的数字和十位上的看反了,准备付21元取货。售货员说:“您应该付39元才对。”请问书比杂志贵多少钱?( )

此外,无论是小学还是中学的奥数课程,数论知识都涉及得特别多,比如整除、公因数(公因式)、互质数(互素因式)等,这些知识只有到了大学数学专业才研究,却在奥数课程里有着重要的应用途径,绝对不能忽视!

一个棒加一个球10元,棒比球贵1元

设兔求鸡:

A.20

小学生鸡兔同笼问题的思路为,

鸡:(4×40-130)÷(4-2)=15

B.21

如果两个都买棒,会比10元多花1元,11元,11÷2=5.5元 5.5-1=4.5元

兔:40-15=25

C.23

如果两个都买球,会比10元少花1元,9元,

方法二,利用方程法。设笼子中装有鸡、兔分别为x只、y只,则根据条件可得

D.24

9÷2=4.5元 4.5 1=5.5元

x y=40,2x 4y=130。解得x=15,y=25。

【答案】C

回答:

(二)已知头数与腿数之差,求各自的数量

【解析】设书的价格为X,杂志的价格为Y,很容易得到X Y=39,从题目中很容易得到这个简单的方程,另一个方程很难得到。我们再做题时可认为X Y=39是一个不定方程,不定方程往往用代入法,结合奇偶特性,X-Y=奇数,答案是21 或23,把21代入X-Y=21,解得X=30,Y=9,30看反是3元,以题目中看反21元不吻合。所以答案21 是错误的。

用公式算的都是读书读傻了的,贵多少就拿多少出来,剩下的平分,就是最便宜的那个价钱了,贵的就加上拿出来的就是了。。10-1=9

这类问题会告诉你,鸡和兔子一共有多少只,然后告诉你鸡的总腿数比兔多多少,或者少多少,然后让你来求鸡和兔子的数量。大家来看一下这道题,看看应该怎么来做。

【例题5】(黑龙江省考-行测--2010-45)一次数学考试共有20道题,规定:答对一题得2分,答错一题扣1分,未答的题不计分。考试结束后,小明共得23分,他想知道自己做错了几道题,但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下,他答错了多少道题?

9÷2=4.5,所以棒4.5 1=5.5

例题2:鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28,问鸡与兔各几只?

A. 3 B. 4

球是4.5

【答案详解】方法一,假如再补上28÷2=14只鸡,那么鸡与兔脚数就相等,每只兔的脚数是每只鸡的脚数的2倍,则鸡的只数是兔的只数的2倍,所以

C. 5 D. 6

回答:

兔:(100 14)÷(2 1)=38只,

【答案】A

2元1次方程,①X Y=10,②X-Y=1,① ②,2X=11,得X=11÷2=5.5,代入①,5.5 Y=10,Y=10-5.5=4.5,答案棒5.5球4.5

鸡:100-38=62只;

【解析】基本应用题。因为未答的题的数目是个偶数,所以答对和答错的题目个数的奇偶性相同。设答对x道,答错y道,则有2x-y=23,将选项代入,只有A项满足。故选A。

回答:

当然也可以去掉兔28÷4=7只,

通过上面几个例题我们发现,奇偶特性在快速求根时的确可以很快出来。我们思考下:一般在什么情况下最容易想到奇偶特性在求根时的应用呢?一般数学中的应用题的问题问到:几个数的和或差时,尤其是问到两个数的和或差时,往往是可以用到的。希望同学在复习的过程细细体会,掌握解方程的技巧。祝大家在公考中脱颖而出!

两个数相加等于10,然后又是非常接近的两个数,我们首先想到的是4和6,然后是5和5,但是都不是相差1,所以不是整数,那么一个就是4.*,另一个是5.*,显然*就是5,因为相加和减后小数都是0,就只有5了。所以是4.5和5.5

兔:(100-7)÷(2 1) 7=38只,

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回答:

鸡:100-38=62只。

上面哪方程可以,但小学生题不要用方程的话,很简单,总数十除二,是不是平均了,一个东西比另外个东西多了一,是不是也要平均,是不是就是0.5呢,那么总数平均值是五,一个加0.5,另一个就是减0.5啦。是不是很简单呢。

方法二,任意假设一个数。

回答:

假设有50只鸡,就有兔100-50=50只。此时脚数之差是4×50-2×50=100,比28多了72,就说明假设的兔数多了、鸡数少了。为保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(注意不是2)。因此要减少的兔数是:

这个题目很容易哈,棒6元,球5元,买的时候还价一元,正好抹零,十元成交。看你们算的累的。

(100-28)÷(4 2)=12只,

老板,这个棒一个6元,球一个5元你卖不卖?不卖我找别人!

兔:50-12=38只。

鸡:50 12=62只。

方法三,方程法。

设鸡有x只、兔有y只,则

x y=100,4y-2x=28,解得x=62,y=38。

(三)“三者同笼”问题

有时候大家觉得两种动物放在一起还不够复杂,这时候他们会把三种动物放在一起,然后让你们来求。大家来看看下面这道题:

例题3:蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀,现在这三种小虫共18只,有118条腿和18对翅膀,蜘蛛、蜻蜓、蝉各几只?

A.5、5、8                   B.5、5、7                    C.6、7、5                           D.7、5、6

【答案详解】这是一道三者同笼的“鸡兔同笼”问题。首先,蜻蜓和蝉都是6条腿,计算腿的数量时将它们作为一个整体考虑,假设全是6条腿的小虫,则可知蜘蛛的数量。

蜘蛛有(118-6×18)÷(8-6)=5只,那么蜻蜓和蝉共有18-5=13只。

再假设这13只都是蝉,则可知蜻蜓的数量。

蜻蜓有(18-1×13)÷(2-1)=5只,蝉有13-5=8只。

大家可以看出来,这类问题实际上还是把三种动物转化成两种动物来求。

鸡兔同笼问题的解法一般只适用于两类不同物体间的关系,而题目中涉及到三类不同的物体时,我们需要找到其中两类物体的共同点,把他们看成一个整体,从而把三类物体间的关系转化为两类物体间的关系。

(四)鸡兔同笼问题变形

大家再来看看这几道题,虽然没有鸡、没有兔子,但是他们还是鸡兔同笼问题

例题4:有大小两个瓶,大瓶可以装水5千克,小瓶可以装水1千克,现在有100千克水共装了52瓶。问大瓶和小瓶相差多少个?

A.26个B.28个C.30个D.32个

【答案详解】此题属于“鸡兔同笼”问题。利用假设法,假设都是装1千克水的小瓶,则共装水52千克,现在多装了100-52=48千克(即总量的差),因为每差5-1=4千克(即单位量的差)就说明有一个大瓶,那么大瓶共有48÷4=12个,小瓶有52-12=40个,两者相差40-12=28个。

例题5:小明每天必须做家务,做一天可得3元钱,做得特别好时每天可得5元钱,有一个月(30天)他共得100元,这个月他有()天做得特别好。

A.2B.3C.5D.7

【答案详解】假设每天都得3元钱,那么他一个月应得30×3=90元,而实际得到100元,做得特别好时每天可多得5-3=2元,则这个月有(100-90)÷(5-3)=5天做得特别好。

文章来源: 公务员吧www.zggongkao.com 

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